二阶常系数线性齐次递推式的特征方程

学习数列时学到的一个小知识点,碰到二阶常系数线性齐次递推式数列,可以使用特征方程的方法快速求通项公式.

例题:
$$ \text{在数列:}\left \{a_{n}\right \}\text{中},a_{1}=1,a_{2}=2,且a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n},求a_{n}=? $$
解:由特征方程$ \lambda^2=3\lambda-2 $ 解得 $ \alpha = \lambda _{1}=2,\beta =\lambda _{2}=1 $
可设$ a_{n}=A\cdot 2^{n-1}+B $
由$ \left\{\begin{matrix}a_{1}=A+B=1\\a_{2}=2A+B=2\\\end{matrix}\right. $ 解得 $ \left\{\begin{matrix}A=1\\B=0\end{matrix}\right. $,所以$ a_{n}=2^{n-1} $.

证明过程:https://www.cnblogs.com/autoint/p/10422212.html